Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)M是OA上一點(diǎn)，過(guò)M作AB的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線CF交EM于F點(diǎn)，且CF=EF．
（1）試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的直徑為10，且AC=CE=8，求OM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑得到∠BCA=∠ACE=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠E，由CF=EF得∠E=∠ECF，所以∠ECF=∠OCA，于是可得到∠OCF=∠ACE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到OC為⊙O的切線；
（2）先根據(jù)勾故定理計(jì)算出BC=6，則BE=14，再證明Rt△ABC∽R(shí)t△EBM，利用先似比計(jì)算出MB，然后利用OM=BM-OB進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）CF與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，∠ACE=90°，
∵∠EMB=90°，
∴∠A=∠E，
∵CF=EF，
∴∠E=∠ECF，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠ECF=∠OCA，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠ECF+∠ACF=∠ACE=90°，
∴OC⊥CF，
∴OC為⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∴BE=BC+CE=14，
∵∠A=∠E，
∴Rt△ABC∽R(shí)t△EBM，
∴

BC

BM

=

AB

EB

，即

6

BM

=

10

14

，
∴BM=8.4，
∴OM=BM-OB=8.4-5=3.4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．