Question

（2010•三明）正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．
（1）如圖①，若點E在上，F是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的條件下，小明還發現線段DE、BE、AE之間滿足等量關系：DE-BE=AE．請你說明理由；
（3）如圖②，若點E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關系．（不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；
（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DE-BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；
（3）類比（2）不難得出（3）的結論．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD（1分）
∵∠1和∠2都對，
∴∠1=∠2，（3分）
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；（4分）

（2）由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．（5分）
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．（6分）
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF²=AE²+AF²．
∴EF²=2AE²．（7分）
∴EF=AE．（8分）
即DE-DF=AE．
∴DE-BE=AE．（9分）

（3）BE-DE=AE．理由如下：（12分）
在BE上取點F，使BF=DE，連接AF．
易證△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．（5分）
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．（6分）
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF²=AE²+AF²．
∴EF²=2AE²．（7分）
∴EF=AE．（8分）
即BE-BF=AE．
∴BE-DE=AE．（9分）
點評：本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，難度適中．