Question

如圖，平面直角坐標系中，點C（-3，4），A為x軸正半軸上一點，已知四邊形OABC為菱形，BC交y軸于點D 
（1）求過點A、O、C的拋物線解析式；
（2）線段CB上是否存在這樣的點P：當點P繞點O順時針旋轉90°后恰好落在（1）所求的拋物線上？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由菱形的性質得OC=OA=BC，則OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出點A的坐標，設拋物線的解析式為y=ax（x-5），把C（-3，4）代入得a即可得出拋物線的解析式；
（2）設P（x，4）旋轉90°到P′，可得出x，代入可求得y，從而得出點P的坐標即可．
解答：解：（1）∵OABC為菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC==5，
∴A（5，0），
設拋物線的解析式為y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=，
∴y=x（x-5）=x²-x．

（2）由點A，O，C在拋物線y=x²-x上，可得拋物線必過原點，又已知四邊形OABC為菱形，所以CB垂直y軸，其解析式為y=4，由此可設P為（a，4），因為點P繞點O順時針旋轉90°，可以看做△OPD繞點O順時針旋轉90°到△OP₁D₁，且這兩三角形全等，所以P₁點坐標為（4，-a），又因為P₁點正好落在拋物線y=x²-x上，所以把P₁點代入，可得a=-，即P（-，4）．
點評：本題是一道二次函數的題，考查了菱形的性質、用待定系數法求二次函數的解析式以及旋轉的性質，是一道難度不大的題目．