Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC、BC，過點C的直線與AB的延長線交于點P，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PB=2，PC=4，求AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∵∠COB為△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵點C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：由（1）得∠OCA=∠PCB，
∵∠OCA=∠A，
∴∠PCB=∠A，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
又∵PB=2，PC=4，
∴==，即=，
則AB=6．
分析：（1）由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠COB為△AOC的外角，利用外角的性質得到∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，利用等量代換得到∠OCA=∠PCB，再由AB為圓的直徑，利用直角所對的圓周角為直角得到一個角為直角，利用等量代換可得出∠PCO=90°，即PC與半徑OC垂直，進而確定出PC為圓O的切線；
（2）由（1）得到∠OCA=∠PCB，等量代換得到∠PCB=∠A，再由∠P為公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形PCB與三角形ACP相似，由相似得比例，將各自的值代入即可求出AB的長．
點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質，利用了轉化及等量代換的思想，其中切線的判定方法有兩種：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于半徑．