Question

【題目】定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝2x2﹣2x+2是黃金拋物線．

（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；

（2）若拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）是黃金拋物線，請探究該黃金拋物線與x軸的公共點個數的情況（要求說明理由）；

（3）將黃金拋物線y＝2x2﹣2x+2沿對稱軸向下平移3個單位．

①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；

②設①中的新拋物線與y軸交于點A，對稱軸與x軸交于點B，動點Q在對稱軸上，問新拋物線上是否存在點P，使以點P、Q、B為頂點的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明．

Answer 1

【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）詳見解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合條件的點P的坐標：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．

【解析】

（1）按照黃金拋物線的定義給a、b、c賦值即可；

（2）將ac＝b2代入判別式當中，消去ac，然后對b分等于0和不等于0兩種情討論即可；

（3）①根據“上加下減”寫出平移后的拋物線解析式即可；

②根據所給的限制條件，只能畫出四種圖形，分別寫出相應的P點坐標即可；

（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；

（2）依題意得b2＝ac，

∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，

∴當b＝0時，△＝0，此時拋物線與x軸有一個公共點，

當b≠0時，△＜0，此時拋物線與x軸沒有公共點；

（3）

①拋物線y＝2x2﹣2x+2向下平移3個單位得到的新拋物線的解析式為y＝2x2﹣2x﹣1，

②存在．

如圖：

若BQ＝AO，過點Q作x軸的平行線，交拋物線于點P，

P點的坐標為：（0，﹣1），（1，﹣1），

此時，△AOB≌△BQP；

若BQ＝BO，過點Q作x軸的平行線，交拋物線于點P，

令2x2﹣2x﹣1＝，

解得：x＝﹣或x＝，

∴P點的坐標為：（﹣，），（，）．

此時，△AOB≌△PQB；

綜上所述，有四個符合條件的點P的坐標：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．