Question

（2010•河北）觀察思考：
某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH⊥l于點H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解決問題：
（1）點Q與點O間的最小距離是______分米；點Q與點O間的最大距離是______分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；
（2）如圖3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？
為什么？
（3）①小麗同學發現：“當點P運動到OH上時，點P到l的距離最小．”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是______分米；
②當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）當OQ最小時，Q、H重合，此時OQ=OH=4；當O、Q的距離最大時，O、P、Q三點共線，此時OQ=OP+PQ=5；當O、P、Q三點共線時，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH=3，那么點Q在l上的最大滑動距離為2QH=6．
（2）顯然不對，當Q、H重合時，OP=2、PQ=3、OQ=4，顯然構不成直角三角形，故PQ與⊙O不相切．
（3）①當P到直線l的距離最長時，這個最大距離為PQ=3，此時PQ⊥直線l；
②當P到直線l的距離最大時，OP無法再向下擺動，若設點P擺動的兩個極限位置為P、P′，連接PP′，則四邊形PQ′QP是矩形，設OH與PP′交于點D，那么PQ′=DH=PQ=3，則OD=OH-DH=1，在Rt△OPD中，OP=2，OD=1，則∠POD=60°，∠POP′=120°，由此得解．
解答：解：（1）4，5，6；

（2）不對．
∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且4²≠3²+2²，即OQ²≠PQ²+OP²，
∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．

（3）①因為PQ的值永遠是3，只有PQ⊥l時，點P到直線l的距離最大，此時最大的距離是3分米；
②由①知，在⊙O上存在點P，P'到l的距離為3，此時，OP將不能再向下轉動，
如圖．OP在繞點O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是P'OP．
連接P'P，交OH于點D，
∵PQ，P'Q'均與l垂直，且PQ=P'Q'=3，
∴四邊形PQQ'P'是矩形，
∴OH⊥PP'，PD=P'D．
由OP=2，OD=OH-HD=1，得∠DOP=60°．
∴∠POP'=120°．
∴所求最大圓心角的度數為120°．
點評：此題結合實際問題考查了數學相關知識的應用，涉及的知識點有：勾股定理、切線的判定、矩形的判定和性質、垂徑定理等重要知識．