Question

（2011福建龍巖，25， 14分)如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9，
點E是CD上的一個動點(E不與D重合)，過點E作EF∥AC，交AD于點F(當E運
動到C時，EF與AC重合巫臺)．把△DEF沿EF對折，點D的對應點是點G，設DE=x，
△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y。
(1) 求CD的長及∠1的度數；
(2) 若點G恰好在BC上，求此時x的值；
(3) 求y與x之間的函數關系式。并求x為何值時，y的值最大?最大值是多少?

Answer 1

（1）CD= ∠1=30°

（2）若點G恰好在BC上，
則有GE=DE=x，EC=
∵∠1=30°，∴∠FED=60°
∴∠GEF=60°
∴∠GEC=60°
∴GE=2CE
∴
∴
（3）∵△EFG≌△EFD

（1）當時，隨著x的增大，面積增大，此時△的面積就是重疊的面積，當時，達到最大值，為。
（2）當，△EFG就有一部分在梯形外，如圖3，
∵GE=DE=x，EC=
易求，∴
∴NG=
∴
此時
=
當時，
綜上所述。當時，。解析:
（1）過A做梯形的高，構造直角三角形，順用、逆用三角函數計算求解線段長和角度。
（2）化動為靜，抓住不同直角三角形邊角間的數量關系（從不同角度表示有特殊關系的線段），建立等量關系，解方程。
（3）分情況討論，求出x不同取值范圍下二次函數式的最值，比較得出。