Question

在四邊形ABCD中，E是AD上一點，且BE∥CD，AB∥CE，△ABE的面積記為S₁，△BEC的面積記為S₂，△DEC的面積記為S₃．
（1）試判斷△ABE與△ECD是否相似，并說明理由．
（2）當S₁=6，S₃=3時，求S₂的值．
（3）猜想S₁，S₂，S₃之間的等量關系．

Answer 1

分析：（1）通過BE∥CD，AB∥CE證得角相等，從而得到△ABE∽△ECD；
（2）先根據相似三角形的對應邊成比例求出

EB

DC

的值，再根據△BEC和△DEC邊BE和DC上的高相等即可求出S₂的值；
（3）由（2）中所求得S₂的值及已知S₁，S₃的值，找出等量關系即可．

解答：解：（1）∵BE∥CD，∴∠BEC=∠DCE，
∵AB∥CE，∴∠BEC=∠ABE，∠A=∠DEC，
∴∠DCE=∠ABE，
∴△ABE∽△ECD；

（2）∵△ABE∽△ECD，S₁=6，S₃=3，
∴

EB

DC

=

2

，
∵BE∥CD，
∴△BEC和△DEC邊BE和DC上的高相等，
∴

S2

S3

=

BE

DC

，即

S 2

3

=

2

，所以S2=3

2

；

（3）∵由（2）可知，S₂=3

2

，
∴（S₂）²=（3

2

）²=18，
S₁•S₃=6×3=18，
∴S₂²=S₁•S₃．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，解答此題的關鍵是熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方這一結論．