Question

在學習了投影知識后，小明同學想能否利用投影的知識來測量斜坡的坡角呢？經過思考小明和他的小組成員采用了以下測量步驟：
（1）如圖，在平地和斜坡上各直立一根等長的標桿AB、DE（均與地面垂直），AB在平地上的影長為BC，
（2）在同一時刻分別測量平地上標桿AB的影長BC，斜坡上標桿DE的影長EF，
問題：
（1）請畫出在同一時刻標桿DE在山坡上的影長EF（不需尺規作圖，只要作出適當的標記）
（2）若標桿AB、DE的長均為2米，測得AB的影長BC為1米，DE的影長EF為2米，求斜坡的坡角α（精確到1°）

Answer 1

分析：（1）首先連接AC，然后點D作DF∥AC，則可知EF即為所求影長；
（2）首先過點E作EM∥BC交DF于點M，過點M作MN⊥EF于點N，根據題意易得△DEF是等腰三角形，然后由三角函數的定義，可得MN：FN=EM：DE=1：2，則可設MN=x，由勾股定理，可得方程：1²=（2-2x）²+x²，繼而可求得sinα=

MN

EM

=

3

5

，則可求得答案．

解答：解：（1）如圖：
①連接AC，
②過點D作DF∥AC，
則EF即為所求影長；

（2）過點E作EM∥BC交DF于點M，過點M作MN⊥EF于點N，
根據題意得：EM=BC=1，DE=EF=2，
∴∠D=∠EFM，∠MEF=α，
∵在Rt△DEM中，tan∠D=

EM

DE

=

1

2

，
∴在Rt△FMN中，tan∠MFN=

MN

FN

=

1

2

，
設MN=x，則FN=2x，
∴EN=EF-FN=2-2x，
在Rt△EMN中，EM²=EN²+MN²，
即1²=（2-2x）²+x²，
解得：x₁=

3

5

，x₂=1（舍去），
∴MN=

3

5

，
∴sinα=

MN

EM

=

3

5

，
∴α≈37°．
答：斜坡的坡角α為：37°．

點評：此題考查了坡度坡角問題，考查了等腰三角形的性質、勾股定理、平行線的性質以及銳角三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．