Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=40，BC=60，點E為AD中點．點P從點B出發沿折線BE-EC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；同時點Q從點B出發沿線段BC以每秒3個單位長的速度向點C勻速運動．當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止運動．設點P，Q的運動時間是t秒（t＞0）．
（1）當點P沿著BE方向運動到點E位置時，請你確定此時點Q的位置；
（2）當點P在BE上運動時（不包括B，E），請你判斷四邊形ABQP的形狀，并說明理由；
（3）設四邊形ABQP的面積為S，請你寫出S與t的函數關系式；
（4）在點P，Q的運動過程中，四邊形ABQP的面積S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵在矩形ABCD中，點E為AD的中點，
∴AE=30，
∵AB=40，
∴BE=50，t=50÷5=10，
∴BQ=10×3=30．
∴此時點Q位于BC的中點；

（2）四邊形ABQP是直角梯形．
如圖3，當點P在BE上運動時，過點E作EF⊥BC與點F．
則BF=30，BP=5t，BQ=3t，
又∵BE=50，
∴，
又∵∠PBQ=∠EBF．
∴△PBQ∽△EBF，
∴∠PQB=∠EFB=90°．
∴PQ∥EF∥AB，
∴四邊形ABQP是直角梯形；

（3）①當0＜t＜10時，由（2）可知四邊形ABQP是直角梯形，
∴S=（PQ+AB）BQ=（4t+40）×3t=6t²+60t，
②當t=10時，易知四邊形ABQP是矩形，
∴S=30×40=1200，
③當10＜t＜20時，如圖4，過點P作PN⊥EF與點N，
則∠PNE=∠CFE=90°，
又∵∠PEN=∠CEF，
∴△PEN∽△CEF．
∴．
又∵EP=5t-50，EC=50，CF=30，EF=40．
∴EN=4t-40，PN=3t-30，
又∵BQ=3t，
∴FQ=3t-30，
∴PN=FQ，易知四邊形NFQP為矩形，
∴PQ∥NF，PQ=NF=80-4t．
∴PQ∥AB，
∴四邊形ABQP為直角梯形．
∴S=（PQ+AB）BQ=（80-4t+40）×3t=-6t²+180t（10＜t＜20）；

（4）當0＜t＜10時，S=6t²+60t，0＜S＜1200；
當t=10時，S=1200；
當10＜t＜20時，S=-6t²+180t=-6（t-15）²+1350，
當t=15時，S=1350．
綜上所述，四邊形ABQP的面積S存在最大值，最大值為1350．
分析：（1）點Q位于BC的中點，根據矩形的性質和已知條件解答即可；
（2）四邊形ABQP是直角梯形，過點E作EF⊥BC與點F，利用兩邊比值相等以及其夾角相等時兩個三角形相似判定△PBQ∽△EBF，再有相似的性質即可證明四邊形ABQP是直角梯形；
（3）本題需要分①當0＜t＜10時②當t=10時，③當10＜t＜20時三種情況討論，再分別求出出S與t的函數關系式；
（4）有（3）可知每種情況下的s與t的函數關系式，利用梯形的面積公式和矩形的面積公式以及二次函數的最值求出其面積，再比較大小即可．
點評：本題綜合性的考查了矩形的性質、相似三角形的判定和相似三角形的性質、直角梯形的性質和判定、矩形的面積公式梯形的面積公式以及二次函數的最值問題和討論討論思想，題目難度很大，綜合性很強，是一道中考壓軸題．