Question

已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．

①當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？

②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）所求拋物線的函數表達式是y=x2﹣x+2．（2）當x=3時，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．（3）P（3，0）或P（，）或P（，）．

【解析】

試題分析：（1）已知了A，B的坐標，可用待定系數法求出函數的解析式．

（2）①QP其實就是一次函數與二次函數的差，二次函數的解析式在（1）中已經求出，而一次函數可根據B，C的坐標，用待定系數法求出．那么讓一次函數的解析式減去二次函數的解析式，得出的新的函數就是關于PQ，x的函數關系式，那么可根據函數的性質求出PQ的最大值以及相對應的x的取值．

（3）分三種情況進行討論：

當∠QOA=90°時，Q與C重合，顯然不合題意．因此這種情況不成立；

當∠OAQ=90°時，P與A重合，因此P的坐標就是A的坐標；

當∠OQA=90°時，如果設QP與x軸的交點為D，那么根據射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出關于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數式中即可得出P的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），

∴，

解得：，

∴所求拋物線的函數表達式是y=x2﹣x+2．

（2）①∵當x=0時，y=2，

∴點C的坐標為（0，2）．

設直線BC的函數表達式是y=kx+b．

則有，

解得：．

∴直線BC的函數表達式是y=﹣x+2．

∵0＜x＜6，點P、Q的橫坐標相同，

∴PQ=yQ﹣yP=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）

=﹣x2+x

=﹣（x﹣3）2+1

∴當x=3時，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．

②【解析】
當∠OAQ=90°時，點P與點A重合，

∴P（3，0）

當∠QOA=90°時，點P與點C重合，

∴x=0（不合題意）

當∠OQA=90°時，

設PQ與x軸交于點D．

∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，

∴∠OQD=∠QAD．

又∵∠ODQ=∠QDA=90°，

∴△ODQ∽△QDA．

∴，即DQ2=OD•DA．

∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），

10x2﹣39x+36=0，

∴x1=，x2=，

∴y1=×（）2﹣+2=；

y2=×（）2﹣+2=；

∴P（，）或P（，）．

∴所求的點P的坐標是P（3，0）或P（，）或P（，）．

考點：二次函數綜合題．