Question

如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是

-2＜k＜

1

2

．

Answer 1

分析：根據∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．

解答：解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯立

y=x y= 1 2 x2+k

消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=

1

2

時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標為1，
∵點B的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∴點A的坐標為（

2

，

2

），
∴交點在線段AO上；
當拋物線經過點B（2，0）時，

1

2

×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使拋物線y=

1

2

x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數k的取值范圍是-2＜k＜

1

2

．
故答案為：-2＜k＜

1

2

．

點評：本題考查了二次函數的性質，主要利用了聯立兩函數解析式確定交點個數的方法，根據圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關鍵．