Question

如圖，直線y=

1

2

x+1與y軸交于A點，過點A的拋物線y=-

5

4

x2+bx+c與直線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）．
（1）求B點坐標以及拋物線的函數解析式．
（2）動點P在線段OC上，從原點O出發以每秒一個單位的速度向C運動，過點P作x軸的垂線交直線AB于點M，交拋物線于點N．設點P運動的時間為t秒，求線段MN的長與t的函數關系式，當t為何值時，MN的長最大，最大值是多少？
（3）在（2）的條件下（不考慮點P與點O、點C重合的情況），連接CM、BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t的值，平行四邊形BCMN是否為菱形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由y=

1

2

x+1，求出與y軸交點A的坐標，再將x=3代入y=

1

2

x+1，求出y的值，得到B點坐標，然后將A、B兩點坐標代入y=-

5

4

x²+bx+c，運用待定系數法即可求得拋物線的函數解析式；
（2）先用含t的代數式表示P、M、N的坐標，再根據MN=NP-MP，即可得到線段MN的長與t的函數關系式為MN=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3），然后運用配方法可求出當t=

3

2

時，MN的長最大，最大值是

45

16

；
（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，即可得方程：-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，解方程求得t的值，再分別分析t取何值時四邊形BCMN為菱形即可．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x+1，
∴當x=0時，y=1，即A點坐標為（0，1），
當x=3時，y=

1

2

×3+1=2.5，即B點坐標為（3，2.5），
將A（0，1），B（3，2.5）代入y=-

5

4

x²+bx+c，
得

c=1 - 5 4 ×9+3b+c=2.5

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴拋物線的函數解析式為y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）∵OP=1•t=t，
∴P（t，0），M（t，

1

2

t+1），N（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
∴MN=NP-MP=（-

5

4

t²+

17

4

t+1）-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t，
即線段MN的長與t的函數關系式為MN=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；
∵-

5

4

t²+

15

4

t=-

5

4

（t²-3t）=-

5

4

（t-

3

2

）²+

45

16

，
∴當t=

3

2

時，MN的長最大，最大值是

45

16

；

（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，
此時，有-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，
解得t₁=1，t₂=2，
所以當t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形；
當t=1時，MN=-

5

4

×1²+

15

4

×1=

5

2

，MP=

1

2

×1+1=

3

2

，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

，
故MN=MC，此時平行四邊形BCMN為菱形；
當t=2時，MN=-

5

4

×2²+

15

4

×2=

5

2

，MP=

1

2

×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

22+12

=

5

，
故MN≠MC，此時平行四邊形BCMN不是菱形．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，線段的長與函數關系式之間的關系，二次函數的性質，平行四邊形以及菱形的性質與判定，勾股定理等知識，綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是數形結合思想與方程思想的應用．