Question

如圖，以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D，三邊長a，b，c能使二次函數的頂點在x軸上，且a是方程z²+z-20=0的一個根．
（1）證明：∠ACB=90°；
（2）若設b=2x，弓形面積S_弓形AED=S₁，陰影部分面積為S₂，求（S₂-S₁）與x的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，當b為何值時，（S₂-S₁）最大？

Answer 1

解：（1）因為二次函數y=（a+c）x²-bx+（c-a）的頂點在x軸上，
∴△=0，
即b²-4×（a+c）×（c-a）=0，
∴c²=a²+b²，
得∠ACB=90°，
或者從拋物線頂點的縱坐標為零求得
y==0，
可得c²=a²+b²；

（2）∵z²+z-20=0．
∴z₁=-5，z₂=4，
∵a＞0，得a=4，
設b=AC=2x，有S_△ABC=AC•BC=4x，S_半圓=πx²，
∴S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圓-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圓=-x²+4x，

（3）S₂-S₁=-（x-）²+，
∴當x=，
即b=時，（S₂-S₁）有最大值．
分析：（1）已知拋物線的頂點在x軸上，因此拋物線與x軸只有一個交點，令y=0，方程的△=0，由此即可證得三角形ABC為直角三角形，即可得出所求的結論．
（2）由于S₂-S₁=S_△ABC-（S_半圓-S₁）-S₁=S_△ABC-S_半圓因此只需求出三角形ABC和半圓的面積即可．根據題中給出的方程可求出a的值及BC的長，AC=b=2x，由此可求出三角形和半圓的面積，即可得出（S₂-S₁）與x的函數關系式．
（3）根據（2）得出的函數的性質即可求得（S₂-S₁）最大時對于的b的值．
點評：本題考查一元二次方程的解法，二次函數與一元二次方程的關系、勾股定理、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．