Question

如圖，在直角三角形AOB中，∠OAB=30°，AB=4

3

，S_△AOB=6

3

．
（1）求點A、B的坐標；
（2）點P在線段OA上，
①當直線BP將△AOB分成面積相等的兩部分時，求直線BP的解析式；
②PE⊥AB于E，連接BP．是否存在點P，使得PB與PE的和最小？若存在，請求出滿足條件時點P的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OB的長度，再利用三角形的面積公式求出AO的長度，從而得解；
（2）①根據三角形的面積公式求出OP的長，求出點P的坐標，再利用待定系數法列式求解即可；
②作△AOB關于y軸的對稱圖形△AOC，可得△ABC是等邊三角形，作BF⊥AC，根據垂線段最短可得BF與y軸的交點就是所要求作的點P，求出∠BAP=∠ABP=30°，根據等角對等邊可得AP=BP，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BP=2OP，然后代入數據求出OP的長度，從而求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵∠OAB=30°，AB=4

3

，
∴OB=

1

2

AB=

1

2

×4

3

=2

3

，
∵S_△AOB=

1

2

OB•OA=

1

2

×2

3

•OA=6

3

，
∴OA=6，
∴點A、B的坐標為A（0，6），B（2

3

，0）；

（2）①當點P為線段OA的中點時，直線BP將△AOB分成面積相等的兩部分，
∴點P的坐標為（0，3），
設直線BP的解析式為y=kx+b，
則

b=3 2 3 k+b=0

，
解得

k=- 3 2 b=3

，
∴直線BP的解析式為y=-

3

2

x+3；
②當E為線段AB的中點時，PE與PB的和最小．
理由如下：
作△AOB關于y軸的對稱圖形△AOC，
∵∠OAB=30°，
∴△ABC是等邊三角形，
過點B作BF⊥AC交OA于點P，過點P作PE⊥AB，根據軸對稱性可知PE=PF，根據垂線段最短可知點P為所求作的點，
根據等邊三角形的性質，PA=PB，∠PBO=30°，
∴∠ABP=60°-30°=30°，
∴∠ABP=∠BAO=30°，
∴AP=BP，
在Rt△PBO中，∠PBO=30°，
∴PB=2PO，
∴OA=OP+AP=OP+2OP=6，
解得OP=2，
∴點P的坐標為（0，2）．

點評：本題綜合考查了一次函數的問題，待定系數法求直線的解析式，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的性質，以及軸對稱的性質，綜合性較強，作軸對稱圖形，找出點P的位置然后再進行說明求解．