Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．點O從A點出發，沿AB以每秒cm的速度向B點方向運動，當點O運動了t秒（t＞0）時，以O點為圓心的圓與邊AC相切于點D，與邊AB相交于E、F兩點．過E作EG⊥DE交射線BC于G．
（1）若E與B不重合，問t為何值時，△BEG與△DEG相似？
（2）問：當t在什么范圍內時，點G在線段BC上當t在什么范圍內時，點G在線段BC的延長線上？
（3）當點G在線段BC上（不包括端點B、C）時，求四邊形CDEG的面積S（cm²）關于時間t（秒）的函數關系式，并問點O運動了幾秒鐘時，S取得最大值最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，DF．那么OD⊥AC，則∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本題可分兩種情況進行討論：
①當∠EDG=60°，∠DGE=30°時，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．這樣∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②當∠DGE=60°時，可在直角△AOD中，根據∠A的度數和AO的長表示出AD的長，也就能表示出CD的長，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的長表示出DG，進而根據DG∥AB得出的關于CD，AD，DG，AB的比例關系式即可求出此時t的值．
（2）本題可先求出BG的表達式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延長線上時t的取值范圍．
（3）由于四邊形CGED不是規則的四邊形，因此其面積可用△ABC的面積-△ADE的面積-△BEG的面積來求得．在前兩問中已經求得AD，AE，BE，BG的表達式，那么就不難得出這三個三角形的面積．據此可求出S，t的函數關系式．根據函數的性質和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應的t的值．
解答：解：（1）連接OD，DF．
∵AC切⊙O于點D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，
∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=．
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=．
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG與△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①當∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6-t）則∠BGD=60°=∠ACB，此時G與C重合，

DE==AD，CD=12-，BE=6-t，
∵△BEG∽△DEC，
∴=，
∴=，
t=；
②當∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，
∴DG=t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6，
∴CD=12-．
∵DG∥AB，
∴解得t=．
答：當t為或時，△BEG與△EGD相似；

（2）∵AC切⊙O于點D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6，BE=6-t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE•tan60°=18-t．
當0≤18-t≤6，即≤t≤4時，點G在線段BC上；
當18-t＞6，即0＜t＜時，點G在線段BC的延長線上；

（3）過點D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=AD=t．
∴S=S_△ABC-S_△AED-S_△BEG
=36-t²-27t
=-（t-）²+（＜t＜4）．
所以當t=時，s取得最大值，最大值為．
點評：本題主要考查了直角三角形的性質、切線的性質、相似三角形的判定、圖形面積的求法以及二次函數的綜合應用等知識點．