Question

如圖，已知拋物線y=x²-（m²-2）x-2m與x軸交與點A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交與點C，且滿足．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若點M是這條拋物線對稱軸上的一個動點，當MB+MC的值最小時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據關于x的一元二次方程x²-（m²-2）x-2m=0的根與系數的關系求得x₁+x₂=m²-2，x₁•x₂=-2m，然后將其代入已知等式中列出關于m的方程，通過解方程即可求得m的值；
（2）如圖所示，連接AC，則AC與對稱軸的交點即為所求之M點；已知點A、C的坐標，利用待定系數法求出直線AC的解析式，進而求出點M的坐標．
解答：解：（1）根據圖示知，該拋物線與y軸的交點C在y軸的負半軸上，則-2m＜0，即m＞0．
∵拋物線y=x²-（m²-2）x-2m與x軸交與點A（x₁，0），B（x₂，0），
∴令y=0，則x²-（m²-2）x-2m=0．
根據韋達定理，得x₁+x₂=m²-2，x₁•x₂=-2m，
∴===，即（m+2）（m-1）=0
解得，m=-2（不合題意，舍去），或m=1．
∴該拋物線的解析式是：y=x²-（1²-2）x-2×1=x²+x-2，即y=x²+x-2；

（2）由（1）知，拋物線的解析式是y=x²+x-2，則該拋物線的對稱軸x=-．
∵點M是這條拋物線對稱軸上的一個動點，
∴MA=MB，
∴MC+MB=MA+MC=AC，根據兩點之間線段最短可知此時MC+MB的值最小．
∴連接AC交x=-于點M，則M即為所求的點．
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）．∵A（-2，0），C（0，-2），
∴，
解得，，
則直線AC的解析式為y=-x-2．
令x=-，則y=-1×（-）-2=-，
∴M（-，-）．
點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、軸對稱-最短路線問題等知識點，屬于代數幾何綜合題，有一定的難度．