Question

【題目】已知：半徑為1的⊙O1與x軸交于A、B兩點，圓心O1的坐標為（2，0），二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象經過A、B兩點，其頂點為F．

（1）求b、c的值及二次函數頂點F的坐標；

（2）寫出將二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象向下平移1個單位再向左平移2個單位的圖象的函數表達式；

（3）經過原點O的直線l與⊙O相切，求直線l的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）b=4 ， c=-3，F（2，1） （2）y=﹣ （3）y=﹣x

【解析】

（1）根據⊙O1的半徑和圓心的坐標，可求得A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線的解析式中，可求出b、c的值．進而可根據二次函數的解析式求出頂點F的坐標．
（2）將原拋物線的解析式化為頂點式，然后再按題目給出的步驟，一步一步的進行平移．
（3）過原點的直線是正比例函數，只需求得直線與圓的切點的坐標，即可確定直線l的解析式．（根據圓的對稱性可知，符合條件的直線l應該有兩條）

解：（1）由已知得：A（1，0），B（3，0）

由題意：

解得：

∴y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1

∴頂點F（2，1）

（2）y=﹣x2

（3）設經過原點O的直線l：y=kx（k≠0）與⊙O1相切于點C

則O1C⊥OC，OO1=2，O1C=1

∴OC=，∠O1OC=30°

設點C的坐標為（xc，yc）

則

∴ k，得k=

∴y=x

由圓的對稱性，另一條直線l的解析式是y=﹣x．