Question

(2005　海南)如圖所示，拋物線與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(1)中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足，并求出此時P點的坐標；

(3)設(1)中的拋物線交y軸于C點．在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)拋物線與x軸的兩個交點分別為A(－1，0)、B(3，0)， ∴，解之得． ∴所求拋物線的解析式為． (2)設點P的坐標為(x，y)，由題意，得 ∴|y|=4，∴y=±4． 當y=4時， ∴． 當y=－4時，， ∴x=1． ∴滿足條件的點P有3個，即． (3)在拋物線對稱軸上存在點Q，使得△QAC的周長最小． ∵AC長為定值． ∴要使△QAC的周長最小，只需QA＋DC最小， ∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B(3，0)， ∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點． C點坐標是（0，-3）故設過點B、C的直線的解析式為y=kx－3， ∵直線過點B(3，0)， ∴3k－3=0． ∴k=1， ∴直線BC的解析式為y=x－3． 把x=1代入上式，得y=－2，∴點Q坐標為(1，－2)．