Question

用12m長的一根鐵絲圍成長方形．
（1）如果長方形的面積為5m²，那么此時長方形的長是多少？寬是多少？如果面積是8m²呢？
（2）能否圍成面積是10m²的長方形？為什么？
（3）能圍成的長方形的最大面積是多少？

Answer 1

分析：設長方形的寬為xm，而長方形的周長為12，由此得到長為

12-2x

2

=（6-x）m，所以6-x≥x，進一步得0＜x≤3．
（1）由于長方形的面積為5m²，由此列出方程x（6-x）=5，解方程即可求解；
（2）由于長方形的面積為 10 m²，由此列出方程x（6-x）=10，判斷方程的根的情況即可求解；
（3）設圍成的長方形面積為k，則有x（6-x）=k．即 x²-6x+k=0，要使該方程有解，必須判別式△=（-6）²-4k≥0，由此即可求出最大的k值解決問題．

解答：解：設長方形的寬為xm則長為

12-2x

2

m，即為（6-x）m，則6-x≥x，得0＜x≤3
（1）根據題意，得x（6-x）=5，即 x²-6x+5=0，x₁=1，x₂=5（舍去）．
∴當長方形的寬為1m，長為6-1=5 m時，面積為5m²．
同樣，當面積為8 m²時，有x（6-x）=8，即 x²-6x+8=0，x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴當長方形的寬為2m，長為6-2=4 m時，面積為8 m²．
（2）當面積為10 m²時，x（6-x）=10，即 x²-6x+10=0，此時b²-4ac=36-40=-4＜0，故此方程無實數根．
所以這樣的長方形不存在．
（3）設圍成的長方形面積為k，則有x（6-x）=k．即 x²-6x+k=0，要使該方程有解，必須（-6）²-4k≥0，即k≤9
∴最大的k只能是9，即最大的面積為9 m²，此時x=3m，6-x=3m，這時所圍成的圖形是正方形．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用問題，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．