Question

（2010•梧州）如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點E從點B出發，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發，以每秒2個單位長度沿OB向點B運動．現點E、F同時出發，當點F到達點B時，E、F兩點同時停止運動．
（1）求梯形OABC的高BG的長；
（2）連接E、F并延長交OA于點D，當E點運動到幾秒時，四邊形ABED是等腰梯形；
（3）動點E、F是否會同時在某個反比例函數的圖象上？如果會，請直接寫出這時動點E、F運動的時間t的值；如果不會，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據勾股定理求出AB的長度，再利用三角形的面積公式即可求出斜邊上的高BG；
（2）利用相似三角形對應邊成比例求出OD的長度，再根據等腰梯形的性質DH的長就等于AG，列出方程求解即可；
（3）假設會在同一反比例函數圖象上，表示出點E、F的坐標則兩點的橫坐標與縱坐標的積等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，說明會在同一函數圖象上，求出方程的解就是運動的時間，如果方程無解說明不會在同一函數圖象上．
解答：解：（1）根據題意，AB===6，
∵2S_△AOB=AB•OB=AO•BG，
∴BG===4.8；

（2）設當E點運動到x秒時，四邊形ABED是等腰梯形，則BE=x，OF=2x，
∵BC∥OA，
∴，即，
解得OD=，
過E作EH⊥OA于H，
∵四邊形ABED是等腰梯形，
∴DH=AG===3.6，
HG=BE=x，
∴DH=10--x-3.6=3.6，
解得x=；

（3）會同時在某個反比例函數的圖象上．
根據題意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，
∴點E（6.4-t，4.8），
∵OF=2t，
∴2tcos∠AOB=2t×=t，
2tsin∠AOB=2t×=t，
∴點F的坐標為（t，t）
假設能在同一反比例函數圖象上，則
t×t=（6.4-t）×4.8，
整理得：2t²+5t-32=0，
△=25-4×2×（-32）=281＞0，
∴方程有解，即E、F會同時在某一反比例函數圖象上，
此時，t=，
因此E、F會同時在某個反比例函數的圖象上，t=．
點評：本題主要考查勾股定理的運用、相似三角形對應邊成比例、等腰梯形的性質和一元二次方程的解的情況，在平時的學習中需要多加練習熟練掌握．