Question

已知面積為4的△ABC的邊長分別為BC=a，CA=b，AB=c，c＞b，AD是∠A的角平分線，點C′是點C關于直線AD的對稱點，若△C′BD與△ABC相似，求△ABC的周長的最小值．

Answer 1

分析：根據相似三角形的性質，即可利用a，b表示出△ABC的周長，然后根據不等式的性質a+b≥2

ab

即可求得最小值．

解答：解：△BDC’相似于△BCA
情況（1）若DC’∕∕AC
令∠DAC=α，則∠BAC=∠BC’D=2α
易知AC’=C’D=CD=AC=b
顯然DC’=AC矛盾（DC’應小于AC）
情況（2）∠BC’D=∠C
又∠DC’A=∠C
故∠BC’D=∠C=90°
在面積為4的直角三角形中，顯然，等腰直角三角形周長最小
證法如下：a+b+c=a+b+

a2+b2

=a+b+

(a+b)2-16

又a+b≥2

ab

即a+b≥4

2

當且僅當a=b=2

2

成立
所以a+b+c≥4

2

+4
則最小值是：4

2

+4．

點評：本題主要考查了的不等式的性質，正確理解運用a+b≥2

ab

是解題的關鍵．