Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點為M（2，－1），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)經(jīng)過點C的直線與該拋物線的另一個交點為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對稱，求直線CD的解析式；

（3）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足PM²＋PB²＋PC²＝35，求點P的坐標；并直接寫出此時直線OP與該拋物線交點的個數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）直線CD的解析式為 （3）  當P（2，－2）時，直線OP與該拋物線無交點； 

當P（2，）時，直線OP與該拋物線有兩交點。 

【解析】

試題分析：（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點為M（2，－1），

∴設(shè)拋物線的解析式為線。

∵點B（3，0）在拋物線上，∴，解得。

∴該拋物線的解析式為，即。

（2）在中令x=0，得。∴C（0，3）。

∴OB=OC=3。∴∠ABC=45⁰。

  

過點B作BN⊥x軸交CD于點N（如圖），

則∠ABC=∠NBC=45⁰。

∵直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對稱，

∴∠ACB=∠NCB。

又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB（ASA）。

∴BN=BA。

∵A，B關(guān)于拋物線的對稱軸x=2對稱，B（3，0），

∴A（1，0）。∴BN=BA=2。∴N（3，2）。

設(shè)直線CD的解析式為，

∵C（0，3），N（3，2）在直線CD上，

∴，解得，。

∴直線CD的解析式為。

（3）設(shè)P（2，p）。∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3），

∴根據(jù)勾股定理，得，，

。

∵PM²＋PB²＋PC²＝35，∴。

整理，得，解得。

∴P（2，－2）或（2，）。 

當P（2，－2）時，直線OP與該拋物線無交點； 

當P（2，）時，直線OP與該拋物線有兩交點。 

考點：拋物線，全等三角形

點評：本題考查拋物線，全等三角形，解答本題需要考生掌握待定系數(shù)法，會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟悉全等三角形的判定方法，會證明兩個三角形全等