Question

已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．
（1）已知該函數圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最小，則點P的坐標為

（2，-3）

；
（2）△ABP的周長等于

5

2

+

26

．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式，設拋物線與x軸的另一交點為C，根據函數解析式即可求得C的坐標，在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP+BP的長最小；由于A、C關于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點即為所求的P點，可先求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點的坐標．
（2）由（1）可得△ABP的周長=AB+AP+BP=AB+BC，代入計算即可．

解答：解：（1）將點A、點B的坐標代入，得

a+4+c=0 c=-5

，
解得：

a=1 c=-5

，
故二次函數解析式為y=x²-4x-5，對稱軸方程為：x=2，
令y=0，則x²-4x-5=0，
解得：x₁=-1，x₂=5，
則拋物線與x軸的另一個交點C的坐標為（5，0），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
將點B、C的坐標代入得：

5k+b=0 b=-5

，
解得：

k=1 b=-5

，
即直線BC的解析式為：y=x-5，
∵點P在拋物線對稱軸上，
∴點P的坐標為（2，-3）．

（2）AB=

OA2+OB2

=

26

，BC=

OB2+OC2

=

52+52

=5

2

，
則△ABP的周長=AB+AP+BP=AB+BC=5

2

+

26

．
故答案為：（2，-3），5

2

+

26

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定以及軸對稱性質的應用，能夠正確的確定P點的位置時解答此題的關鍵．