Question

已知⊙T與坐標軸有四個不同的交點M、P、N、Q，其中P是直線y=kx-1與y軸的交點，點Q與點P關于原點對稱．拋物線y=ax²+bx+c經過點M、P、N，其頂點為H．
（1）求Q點的坐標；
（2）指出圓心T一定在哪一條直線上運動；
（3）當點H在直線y=kx-1上，且⊙T的半徑等于圓心T到原點距離的

2

倍時，你能確定k的值嗎？若能，請求出k的值；若不能，請你說明理由．（圖供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）根據過P的直線的解析式即可求出P（-1，0），而Q、P關于x軸對稱，由此可求出Q點坐標．
（2）根據圓的對稱性和垂徑定理即可得出圓心必在x軸上運動．
（3）本題可分兩種情況：分兩種情況：①圓心T在x軸負半軸；②圓心T在x軸正半軸；解法一致．已知了圓的半徑和圓心T到原點距離的倍數關系，通過連接TP構建直角三角形，可求出圓心的坐標和圓的半徑．也就能求出M、N的坐標，然后根據M、N、C三點坐標即可求出拋物線的解析式也就能得出H點的坐標，然后將H點坐標代入直線的解析式中即可求出k的值．

解答：解：（1）y=kx-1交y于（0，-1）點，
∴P點的坐杯為（0，-1）
由Q與P關于原點對稱，
∴Q點的坐標為（0，1）．

（2）已知圓過M、N、P、Q四點，根據圓的對稱性和垂徑定理可知MN必為圓的直徑，
因此圓心T在x軸上運動．

（3）當T在x軸負半軸上時，連接TP，則TP=

2

OT=

2

，
∴OT=1，△TOP為等腰直角三角形．
∴T（-1，0）
∵圓的半徑TP=

2

，
∴M（-1-

2

，0），N（

2

-1，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1+

2

）（x+1-

2

），
已知拋物線過P（0，-1），
∴a（0+1+

2

）（0+1-

2

）=-1
∴a=1
∴y=x²+2x-1=（x+1）²-2
∴H（-1，-2），代入直線y=kx-1中，
得k=1，
同理可求得當T在x軸正半軸上時，k=-1．
因此k的值為±1．

點評：本題主要考查了二次函數、一次函數以及圓的相關知識．難度適中．