Question

如圖，拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出拋物線的解析式；
（2）過B作BC⊥x軸于C，根據A、B的坐標易求得OC=BC=AC=2，由此可證得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可證得△OAB是等腰直角三角形；
（3）當△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°時，OB′正好落在y軸上，易求得OB、AB的長，即可得到OB′、A′B′的長，從而可得到A′、B′的坐標，進而可得到A′B′的中點P點的坐標，然后代入拋物線中進行驗證即可．
解答：解：（1）由題意得，
解得；
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+2x；

（2）過點B作BC⊥x軸于點C，則OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；

（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，
∴OB=AB=2；
由題意得：點A′坐標為（-2，-2）
∴A′B′的中點P的坐標為（-，-2）；
當x=-時，y=-×（-）²+2×（-）≠-2；
∴點P不在二次函數的圖象上．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、等腰直角三角形的判定、圖形的旋轉變化等知識．