Question

如圖，已知拋物線y=ax²+4ax+t（a＞0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（-1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；
（2）過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結論；
（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點D，當∠APD=∠ACP時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

，由此可求出拋物線的對稱軸方程，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，因此可根據B點的坐標求出A點的坐標．
（2）已知了CP∥AB，只需證CP是否與AB相等即可，根據拋物線對稱軸x=-2可知CP=2，根據A、B的坐標不難得出AB=2，因此AB與PC平行且相等，四邊形ABCP是平行四邊形．
（3）本題的關鍵是求出C點的坐標，即OC的長，當∠APD=∠ACP時，△ADE∽△PAE，可得出AE²=DE•PE①，AE的長可根據A點坐標和拋物線的對稱軸方程求得，而關鍵是求出DE、PE的比例關系，由于PE=OC，在相似三角形ADE和ACO中，可求出DE與OC的比例關系，也就求出了DE與PE的比例關系，然后將這個式子代入①中即可求出OC的長，已知了A、B、C三點坐標后可用待定系數法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）x=-

4a

2a

=-2，
∴拋物線的對稱軸是直線x=-2
設點A的坐標為（x，0），

-1+x

2

=-2，
∴x=-3，A的坐標（-3，0）

（2）證明：四邊形ABCP是平行四邊形
∵CP=2，AB=2，
∴CP=AB
又∵CP∥AB
∴四邊形ABCP是平行四邊形

（3）通過△ADE∽△CDP得出DE：PE=1：3
∵四邊形ABCP是平行四邊形
∴AB∥PC，
∴∠ACP=∠CAB，
∵∠APD=∠ACP，
∴∠APD=∠CAB，
∵∠AED是公共角，
∴△ADE∽△PAE，
∴1²=

t

3

•t
解得t=

3

，
將B（-1，0）代入拋物線y=ax²+4ax+t，
得t=3a，a=

3

3

，
拋物線的解析式為y=

3

3

x²+

4 3

3

x+

3

．

點評：該題綜合性較強，它將二次函數和相似三角形、平行四邊形貫穿在一起，考查綜合分析問題能力，既考查二次函數的對稱軸解析式，又考查相似三角形的性質和平行四邊形的識別，是一個考查學生綜合解題能力的好題．