Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）連接DF，△ADE與△DEF是否一定相似？若一定相似，請加以證明；若不一定相似，請你求出當△ADE與△DEF相似時，AE的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）都是直角三角形，只需再找一對銳角相等即可．因為EF⊥DE，所以∠AED+∠BEF=90°．又∠BEF+∠BFE=90°，所以∠AED=∠BFE．問題得證．
（2）因不具備全等的條件，所以不一定相似．若相似，除直角對應相等外，其它的對應關系不明確，所以需分兩種情況討論：
①△ADE∽△EDF，②△ADE∽△EFD．根據相似三角形性質，分別得比例線段求解．
解答：（1）證明：∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°．
又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AED=∠BFE．
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEF，（3分）

（2）解：不一定相似．（4分）
①若△ADE∽△EDF，則AE=2（6分）
②若△ADE∽△EFD，則AE無解．（7分）
點評：此題考查了相似三角形的判定，在對應關系不明確的情況下，需分類討論．