Question

如圖，關于x的二次函數y=x²-2mx-m的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（x₂＞0＞x₁），與y軸交于C點，且∠BAC=∠BCO．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）以點D（，0）為圓心作⊙D，與y軸相切于點O．過拋物線上一點E（x₃，t）（t＞0，x₃＜0）作x軸的平行線與⊙D交于F、G兩點，與拋物線交于另一點H．問：是否存在實數t，使得EF+GH=FG？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=∠BCO，∠BOC=∠COA=90°
∵△BCO∽△CAO，
∴，
∴CO²=AO•OB．
由已知可得：AO=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂
∵x₁x₂=-m＜0，
∴m＞0，
∴CO=m，AO•BO=m
∴m²=m，m=1，m=0（舍去），
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-1；

（2）存在實數t，使得EF+GH=FG．
過D作DM⊥EH于M，連接DG，
∵EH∥x軸，E（x₃，t），
∴DM=t，
∵DG=DO=
∴FG=2MG=2=2，
由EF+GH=FG得EH=2FG；
又∵EH∥x軸，E（x₃，t），
∴設H（x₄，t）
∵E、H是拋物線上的兩點，
∴x₃²-2x₃-1=t，x₄²-2x₄-1=t，
即x₃、x₄是方程的兩個不相等的根，
∴x₃+x₄=2，x₃•x₄=-（1+t），
∵x₃＜0
∴x₄＞0
∴EH=x₄-x₃===2，
∴2=4，
即4t²+t-6=0，
解這個方程得t₁=，t₂=-（舍去），
故存在實數t=，使得EF+GH=FG．
分析：（1）中求函數解析式即要求m的大小，由圖可知，OC=|m|，又拋物線與x軸交于A、B兩點，則OA•OB=m，且m＞0，根據題設條件可推得△BCO∽△CAO，幫CO²=OA•OB即m²=m，從而求出m=1（m=0不合題意，舍去）．
（2）是一道存在型探索問題，可先假設符合題意的t值存在，再把EF+GH=FG作為已知條件結合題設與相關知識進行演算推證，若求出合適的t的值，則假設成立；若求不出t值或所求值與已知矛盾，則假設不成立．
點評：本題是函數與圓的綜合題，考查了相似三角形、韋達定理等知識，綜合性較強．