Question

矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．延長B′E交AB的延長線于M，折痕AE上有點P，下列五個結論中正確的有（ ）個
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，則EB′=B′P．

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：根據∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°可判斷①；利用折疊的性質可判斷出△B'AP≌△BAP，繼而可判斷出②；設AE=x，表示出EB'=EB=，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的長度，繼而可判斷出③；利用反證法判斷④，最后看得出的結果能證明出來；根據B′P⊥CD，判斷出B'P∥BC，從而有∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，從而可判斷出⑤．綜合起來即可得出最終的答案．
解答：解：連接AB'，

①由題意得∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°，
∴∠M=∠CB'E=∠DAB'，故可得①正確；
②根據折疊的性質可得AB'=AB，AP=AP，∠B'AP=∠BAP，從而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，
∴PB=PB'，故可得②正確；
③在Rt△ADB'可得，B'D==3，從而可得CB'=5-3=2，
設AE=x，則EB'=EB=，
在Rt△CEB'中，CE²+CB'²=EB'²，即（4-）²+4=x²-25，
解得：x=，即AE=．
故可得③正確；
④假如MB′=CD，則可得MB'=AB=AB'，
∴∠M=∠BAB'，由①得∠M=∠DAB′，
故有∠BAB'=∠DAB'，
而本題不能判定∠BAB'=∠DAB'，即假設不成立．
故可得④錯誤．
⑤若B′P⊥CD，則B'P∥BC，
∴∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，
∴EB'=B'P，
故可得⑤正確．
綜上可得①②③⑤正確，共四個．
故選C．
點評：本題考查了翻折變換，解答過程中涉及了平行四邊形的性質、勾股定理，屬于綜合性題目，解答本題的關鍵是根據翻折變換的性質得出對應角、對應邊分別相等，然后分別判斷每個結論，難度較大，注意細心判斷．