Question

【題目】已知二次函數y=x2+2（m+l）x﹣m+1．以下四個結論：
①不論m取何值，圖象始終過點（ ，2 ）；
②當﹣3＜m＜0時，拋物線與x軸沒有交點：
③當x＞﹣m﹣2時，y隨x的增大而增大；
④當m=﹣ 時，拋物線的頂點達到最高位置．
請你分別判斷四個結論的真假，并給出理由．

Answer 1

【答案】解：①二次函數y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+1）2﹣（2x﹣1）m，當x= 時，y= ，故可知拋物線總經過點（ ，2 ），故①正確，②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求△=4（m+1）2+4m﹣4=4m2+12m，當﹣3＜m＜0時，4m2+12m＜0，拋物線與x軸沒有交點，故②正確，③拋物線開口向上，對稱軸x=﹣ =﹣m﹣1，所以當x＞﹣m﹣1時，y隨x的增大而增大，故③錯誤，④y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，拋物線的頂點坐標為（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m），因為頂點的縱坐標y=﹣m2﹣3m=﹣（m+ ）2+ ，所以當m=﹣ 時，拋物線的頂點達到最高位置．故④正確，正確的結論有①②④．
【解析】①把二次函數y=x2+2（m+l）x﹣m+1轉化成y═（x+1）2﹣（2x﹣1）m，令x= ，y= ，判斷出①；②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求出根的判別式△在﹣3＜m＜0時小于0，判斷②；③求出拋物線的對稱軸，即可判斷③；④根據頂點坐標式求出拋物線的頂點，然后根據頂點縱坐標判斷④．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．