Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，B點坐標為（3，0）．與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值；

（3）點D為拋物線對稱軸上一點．

①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標；

②若△BCD是銳角三角形，求點D的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①D點坐標為（2，5）或（2，﹣1）；②點D的縱坐標的取值范圍為＜y＜5或﹣1＜y＜．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）易得BC的解析式為y=﹣x+3，先證明△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，則△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，設P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），接著利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF= ，然后利用二次函數的性質解決問題；

（3）①如圖2，拋物線的對稱軸為直線x=2，設D（2，y），利用兩點間的距離公式得到BC2=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=1+y2，討論：當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，18+4+（y﹣3）2=1+y2；當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，4+（y﹣3）2=1+y2+18，分別解方程求出t即可得到對應的D點坐標；

②由于△BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解出y的值，得到此時D點的坐標，然后結合圖形可確定△BCD是銳角三角形時點D的縱坐標的取值范圍．

試題解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為；

（2）易得BC的解析式為y=﹣x+3，∵直線y=x﹣m與直線y=x平行，∴直線y=﹣x+3與直線y=x﹣m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，設P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG= ，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF= = =，當t=2時，PE+EF的最大值為；

（3）①如圖2，拋物線的對稱軸為直線x==2，設D（2，y），則BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得y=5，此時D點坐標為（2，5）；

當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得y=﹣1，此時D點坐標為（2，﹣1）；

綜上所述：D點坐標為（2，5）或（2，﹣1）．

②當△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2+DB2=BC2，即4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，此時D點坐標為（2， ）或（2， ），所以△BCD是銳角三角形，點D的縱坐標的取值范圍為＜y＜5或﹣1＜y＜．