Question

【題目】如圖，若拋物線與軸相交于，兩點，與軸相交于點，直線經過點，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是直線下方拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點，連接．

①線段是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由；

②在點運動的過程中，是否存在點，恰好使是以為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①PM最大為；②P點的坐標為（2，-3）或（，）．

【解析】

（1）通過求出B、C坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）①設點H的坐標為(m，0) ，則 ，，從而可以用m表示出PM的長，即可求出PM的最大值；

②PM為腰的等腰三角形有一條邊需和PM相等，分兩種情況討論．

解：（1）在上，令，解得，

令，解得，

∴B（3，0），C（0，-3），

將B（3，0），C（0，-3）代入，

，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①設點H的坐標為(m，0)，則 ，，

∴，

當時，PM取最大值，此時，

∴PM最大為；

②∵B（3，0），C（0，-3），

∴OB=OC=3，即△OBC為等腰直角三角形，

易得△BHM為等腰直角三角形，

若PM=PC，則∠PCM=∠PMC=45°，∠CPM=90°，

∵軸，

∴軸，

此時P點縱坐標為-3，

在中當y=-3時，解得x=0或x=2，

∴P（2，-3），

若PM=MC，

易得CM=OH=，

∴，

解得m=0（舍）或m=，

∴P（，），

綜上所述，P點的坐標為（2，-3）或（，）．