Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．點P、Q分別是BC邊和AB邊上的動點，點P從點C向點B運動，點Q從點A向點B運動，QR⊥BC，垂足為R，設P、Q同時運動，并且當P運動4x單位長度時，Q運動5（1-x）單位長度．是否存在x的值，使以P、Q、R為頂點的三角形與△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：根據相似三角形的判定與性質，當若點P，R，Q分別與點P，C，A對應，當若點P，R，Q分別與點A，C，P對應，分別分析得出x的長度即可．

解答：解：存在x的值，使以P，Q，R為頂點的三角形與△ACP相似．
∵BQ=5x，有相似三角形求得：BR=4x，QR=3x，
①當P在C，R之間時，PR=4-8x，
若△PRQ∽△ACP，則PR：AC=RQ：CP，
即：

4-8x

3

=

3x

4x

，
∴x=

7

32

，
若△QRP∽△ACP，則QR：AC=RP：CP，
即：

3x

3

=

4-8x

4x

，
∴x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍），
②當P在B，R之間時，PR=8x-4，
若△PRQ∽△ACP，則PR：AC=RQ：CP，
即：

8x-4

3

=

3x

4x

，
∴x=

25

32

，
若△QRP∽△ACP，則QR：AC=RP：CP，
即：

3x

3

=

8x-4

4x

，
∴x₁=x₂=1（舍）
綜上所述：存在x的值，x₁=

2

-1，x₂=

7

32

，x₃=

25

32

．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，根據P和R點不同位置進行分析，解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解是解題關鍵．