Question

【題目】實(shí)驗(yàn)探究：

如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，交于、點(diǎn)．

（問題發(fā)現(xiàn)）

（1）把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖，、的關(guān)系是_________（“相等”或“不相等”），請(qǐng)直接寫出答案；

（類比探究）

（2）若，，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求出此時(shí)的長(zhǎng)；

（拓展延伸）

（3）在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段的最小值為_________．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）或；（3）1．

【解析】

（1）依據(jù)△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，進(jìn)而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；
（2）分兩種情況：依據(jù)∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到，進(jìn)而得到PD=；依據(jù)∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到，進(jìn)而得出PB=，PD=BD+PB=；
（3）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PD的值最小．

（1）∵△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴BA=CA，DA=EA，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
故答案為：相等．
（2）作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點(diǎn)C在AD上，如圖2所示：

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，
∴△PCD∽△ACE，
∴，即
∴PD=
若點(diǎn)B在AE上，如圖2所示：

∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，，BE=AEAB=2，
∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，
∴△BAD∽△BPE，
∴，即，
解得PB=，
∴PD=BD+PB=，
綜上可得，PD的長(zhǎng)為或．
（2）如圖3所示，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PD的值最小

在Rt△PED中，PD=DEsin∠PED，因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大小．
當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中△ACB的位置時(shí)，
在Rt△ACE中，CE=，
在Rt△DAE中，DE=，
∵四邊形ACPB是正方形，
∴PC=AB=3，
∴PE=3+4=7，
在Rt△PDE中，PD=，
即旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為1．