Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF為梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結(jié)論：①∠BCD=60°；②四邊形EHCF為菱形；③S_△BEH=

1

2

S_△CEH；④以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四邊形ABHD是矩形，故AD=BH，從而可求CH，利用三角函數(shù)可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位線定理，及F時(shí)CD中點(diǎn)，可證四邊形EHCF是菱形；△BEH與△EHC時(shí)等高的兩個(gè)三角形，求面積比，也就是求底邊的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半與EF比較，相等則切于F，否則不成立．

解答：解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四邊形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=

1

2

CD=2，
∴四邊形EHCF是菱形，
∵S_△BEH=

1

2

BH•EB=

1

2

×1×EB=

1

2

EB，
S_△CEH=

1

2

CH•EB=

1

2

×2×EB=EB，
∴S_△BEH=

1

2

S_△CEH．
以AB的直徑的圓的半徑為

3

，而EF=2，R≠EF．
所以AB為直徑的圓與CD不相切于點(diǎn)F．
則①②③正確．故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查梯形的性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定、三角形面積及圓的切線的判定．