Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，點F在邊AC上，DF與BE相交于點G，且∠EDF=∠ABE．
求證：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG•DF=DB•EF．

Answer 1

分析：（1）根據AB=AC，求出∠ABC=∠ACB，結合DE∥BC，得出∠BDE=∠CED，再根據∠EDF=∠ABE，得出△DEF∽△BDE．
（2）由△DEF∽△BDE，得出△DEF∽△BDE，從而推出∠BED=∠DFE，結合∠GDE=∠EDF，得出DE²=DG•DF，從而得到DG•DF=DB•EF．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．（1分）
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．（1分）
∴∠BDE=∠CED．（1分）
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．（2分）

（2）由△DEF∽△BDE，得

DB

DE

=

DE

EF

．（1分）
∴DE²=DB•EF．（1分）
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．（1分）
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．（1分）
∴

DG

DE

=

DE

DF

．（1分）
∴DE²=DG•DF．（1分）
∴DG•DF=DB•EF．（1分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，解答過程中要用到平行線的性質及同角的補角相等等知識，難度不大．