Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，設CD交AB于F，連接AD，△ADF是等腰三角形旋轉(zhuǎn)角α度數(shù)為（　　）

A．20°

B．40°

C．20°或40°

D．60°

Answer 1

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三種情況討論求解．

解答：解：∵△ABC繞C點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=

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2

（180°-α），
∴∠DAF=∠ADC-∠BAC=

1

2

（180°-α）-30°，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠AFD=∠BAC+∠DAC=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三種情況討論，
①∠ADF=∠DAF時，

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2

（180°-α）=

1

2

（180°-α）-30°，無解，
②∠ADF=∠AFD時，

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2

（180°-α）=30°+α，
解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD時，

1

2

（180°-α）-30°=30°+α，
解得α=20°，
綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α度數(shù)為20°或40°．
故選C．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．