Question

如圖，已知直徑與等邊△ABC的高相等的圓O分別與邊AB、BC相切于點D、E，邊AC過圓心O與圓O相交于點F、G．
（1）求證：DE∥AC；
（2）若△ABC的邊長為a，求△ECG的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形可知∠B、∠C的度數，又因AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，可知BD=BE，故可以證明兩直線平行．
（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點H，由題意知條件可求出AO=OC，由圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG，進而求出CG，EH，
有三角形面積公式求出數值．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC．

（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點H．
∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，O是圓心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=

1

2

a．
∵圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG=

3

4

a，
∴CG=OC+OG=

1

2

a+

3

4

a，
∵EH⊥OC，∠C=60°，
∴∠COE=30°，EH=

3

8

a；
∵S_△ECG=

1

2

CG•EH=

1

2

（

3

4

a+

1

2

a）•

3

8

a，
∴S△ECG=

3

64

a2+

3

32

a2=

3+2 3

64

a2．

點評：本題是一道綜合性很強的習題，考查到切線的性質，全等三角形的判斷，等邊三角形的性質等，是一道很不錯的題．