Question

已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸上的兩點，點A在點B的左側，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點A、B，與y軸相交于點C．
（1）如圖情況下：a、c的符號之間有何關系？
（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數；
（3）在（2）的條件下，如果b=-4，AB=4，求a、c的值．

Answer 1

解：（1）由圖可知：當拋物線開口向下，即a＜0時，c＜0；
當拋物線開口向上，即a＞0時，c＞0；
因此a、c同號．

（2）設A（m，0），B（n，0），
拋物線的解析式y=ax²+bx+c中，令y=0，
得：ax²+bx+c=0，
故OA•OB=mn=；
而OC²=c²，若OA•OB=OC²，
則：=c²，
解得ac=1；
所以a、c互為倒數．

（3）由題意知：y=ax²-4x+，
則：m+n=，mn=；
若AB=4，即AB²=48，
所以：（n-m）²=48，
即（m+n）²-4mn=48，
=48，
解得a=±；
故c==±2；
因此a、c的值分別為：、2或-、-2．
分析：（1）此題較簡單，根據A、B點的位置即可判斷出當拋物線開口向下時，函數圖象與y軸交于負半軸，當拋物線開口向上時，函數圖象與y軸交于正半軸，即a、c同號．
（2）當CO²=OA•OB時，可用c表示出OC，用a、c表示出OA•OB，代入上式即可求得a、c是否為倒數關系．
（3）此題可沿用（2）的思路，首先將b值代入拋物線的解析式中，可依據韋達定理表示出AB的長，幾何a、c的倒數關系，即可求得a、c的值．
點評：此題主要考查的是二次函數圖象與系數的關系以及根與系數的關系，難度適中．