Question

5．如圖，⊙M的圓心M在x軸上，且與x軸分別交于A、B兩點與y軸的正半軸交于點D，點A、B的橫坐標分別是方程x²=3x+4的兩根，一條拋物線經過A、B、D三點，點C為第一象限拋物線上一動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）A（-1，0），B（4，0），可以假設拋物線為y=a（x+1）（x-4），連接BD，由△AOD∽△DOB，得OD²=AO•BO，推出OD=2，推出D（0，2），把D（0，2）代入y=a（x+1）（x-4）中，求出a即可．
（2）設四邊形ABCD面積為S，構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

解答 解：（1）∵點A、B的橫坐標分別是方程x²=3x+4的兩根，
∴A（-1，0），B（4，0），
可以假設拋物線為y=a（x+1）（x-4），連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠AOD=∠DOB=90°，
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠DAO=∠BDO，
∴△AOD∽△DOB，
∴OD²=AO•BO，
∴OD=2，
∴D（0，2），
把D（0，2）代入y=a（x+1）（x-4）中，得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）連接OC．設C（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
S=S_△ADO+S_△DCO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）=-（m-2）²+9，
∵-1＜0，
∴m=2時，S有最大值，最大值為9．

點評 本題考查二次函數與x軸的交點、二次函數的最值問題、待定系數法等知識，解題的關鍵是學會根據二次函數解決最值問題，屬于中考常考題型．