Question

（2013•咸寧）為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈．已知這種節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數：y=-10x+500．
（1）李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？
（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出銷售的件數，然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價；
（2）由利潤=銷售價-成本價，得w=（x-10）（-10x+500），把函數轉化成頂點坐標式，根據二次函數的性質求出最大利潤；
（3）令-10x²+600x-5000=3000，求出x的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設設政府每個月為他承擔的總差價為p元，根據一次函數的性質求出總差價的最小值．

解答：解：（1）當x=20時，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600元，
即政府這個月為他承擔的總差價為600元．

（2）依題意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x²+600x-5000
=-10（x-30）²+4000
∵a=-10＜0，∴當x=30時，w有最大值4000元．
即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．

（3）由題意得：-10x²+600x-5000=3000，
解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10＜0，拋物線開口向下，

∴結合圖象可知：當20≤x≤40時，w≥3000．
又∵x≤25，
∴當20≤x≤25時，w≥3000．
設政府每個月為他承擔的總差價為p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當x=25時，p有最小值500元．
即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．

點評：本題主要考查了二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵熟練掌握二次函數的性質以及二次函數最大值的求解，此題難度不大．