Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，－3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

1.分別求直線AB和這條拋物線的解析式（4分）

2.若點(diǎn)P在第四象限，連結(jié)BM、AM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求的面積。（4分）

③  3.是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3分）。

 

Answer 1

 

1.把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x²+mx+n，得

解得，

所以拋物線的解析式是y=x²﹣2x﹣3．

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，

解得，

所以直線AB的解析式是y=x﹣3；（4分）

2.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t²﹣2t﹣3），

因?yàn)閜在第四象限，

所以PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t，

當(dāng)t=﹣=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為=，

則S_△ABM=S_△BPM+S_△APM==．（4分）

3.存在，理由如下：

∵PM∥OB，

∴當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3．

②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t₁=，t₂=（舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；

③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，解得t₁=（舍去），t₂=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．

所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．

解析:（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x²+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t²﹣2t﹣3），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=（t﹣3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

當(dāng)t=﹣=時(shí)，PM最長(zhǎng)為=，再利用三角形的面積公式利用S_△ABM=S_△BPM+S_△APM計(jì)算即可；

（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t²﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t²﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．