Question

如圖等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CD=6，OC⊥BC且∠COB=30°．
（1）求點B、點D的坐標；
（2）若點P從點B出發，以每秒1個單位的速度沿射線BC運動，設△DCP的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在直線BC上是否存在點E，使以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在三角形ODC中，∠DCO=30°DC=6，求出OC和OD，求出OB即可；
（2）過D作DE⊥BC，交BC延長線于E，求出DE=3

3

，分為兩種情況：①當P在線段BC上時，此時0≤t＜4，得出S=

1

2

×CP×DE，代入求出即可；②當P在BC延長線時，此時4＜t，求出S=

1

2

CP×DE=

1

2

•（t-4）•3

3

；
（3）在直線BC上存在點E，使以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，理由是：①當E和B重合時，以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，②當E是直線BC交y軸的交點時，即E和F重合，求出BF=12，OF=6

3

即可；③當△OBE時等邊三角形時，以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，過E作EM⊥OB于M，求出OM=BM=

1

2

OB=4，由勾股定理求出EM=4

3

即可；④點E在第四象限，∠BOE=30°時根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE，再解直角三角形求出點E的橫坐標與縱坐標的長度，即可得解．

解答：解：（1）∵∠COB=30°，
∴∠CBA=60°，
∵DC∥AB，
∴∠DCB=180°-60°=120°，
∵OC⊥CB，
∴∠OCB=90°，
∴∠DCO=30°，
∵DC=6，
∴DO=2

3

，OC=4

3

，
∴D的坐標是（0，2

3

），
∵∠COB=30°，
∴CB=4，OB=2CB=8，
∴B的坐標是（8，0）；

（2）∵四邊形ADCB是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∵DO=2

3

，
∴AO=2，AD=2AO=4，
即BC=AD=4，
過D作DE⊥BC，交BC延長線于E，如圖2，
則∠DEC=∠OCB=90°，
∵DC∥AB，
∴∠ECD=∠CBO，
∴△DEC∽△OCB，
∴

DE

OC

=

DC

OB

，
∴

DE

4 3

=

6

8

，
∴DE=3

3

，
分為兩種情況：①當P在線段BC上時，此時0≤t＜4，
S=

1

2

×CP×DE=

1

2

（4-t）•3

3

，
S=-

3 3

2

t+6

3

；
②當P在BC延長線時，此時4＜t，如圖3，
S=

1

2

CP×DE=

1

2

•（t-4）•3

3

，
S=

3 3

2

t-6

3

；

（3）在直線BC上存在點E，使以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，
理由是：①當E和B重合時，以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，
此時E的坐標是（8，0）；
②當E是直線BC交y軸的交點時，即E和F重合，
∵BO=8，∠CBO=60°，∠DOB=90°，
∴BF=12，OF=6

3

，
即此時E的坐標是（0，6

3

）；
③當△OBE時等邊三角形時，以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，
此時∠EOC=60°-30°=30°，如圖4，
過E作EM⊥OB于M，
則OM=BM=

1

2

OB=4，OE=OB=8，
由勾股定理得：EM=4

3

，
即E的坐標是（4，4

3

）；
④點E在第四象限∠BOE=30°時，以O、C、E為頂點的三角形與△AOD相似，
此時，∠OEC=90°-60°=30°，
OE=2OC=2×4

3

=8

3

，
8

3

×

3

2

=12，8

3

×

1

2

=4

3

，
點E的坐標是（12，-4

3

）．

點評：本題考查了等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理，等邊三角形的性質和判定，相似三角形等知識點的綜合運用，用了分類討論思想．