Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（2）若AD=4、AB=6，求直角邊BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OD，OE，由E是BC邊上的中點，得到OE是△ABC的中位線，則OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，再加上OD=OB，OE為公共邊，所以得到△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°．
（2）首先證明△ABC∽△ADB，得出，即可求出答案．
解答：解：（1）連OD，OE，如圖，
∵E是BC邊上的中點，AB是半圓O的直徑，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE為公共邊，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE與半圓O相切．

（2）∵AB為直徑
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴，
∵AD=4、AB=6，
∴AC=9，
∴在Rt△ABC中：BC===3．
點評：此題主要考查了圓的切線的判定方法以及相似三角形的性質與判定，經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了三角形全等的判定與性質．