Question

已知：如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y=相交于C、D兩點，且點D的坐標為（1，6）．
（1）當點C的橫坐標為2時，試求直線AB的解析式，并直接寫出的值為______．
（2）如圖2，當點A落在x 軸的負半軸時，過點C作x軸的垂線，垂足為E，過點D作y軸的垂線，垂足為F，連接EF．
①判斷△EFC的面積和△EFD的面積是否相等，并說明理由；
②當=2時，求tan∠OAB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點D（1，6）在反比例函數y=的圖象上可求出m的值，進而得出反比例函數的解析式，再由點C的橫坐標為2即可得出其縱坐標，故可得出C點坐標；
（2）①設C（a，b），則ab=6，由S_△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S_△EFD=×1×6=3，故可得出結論；
②先由平行四邊形的判定規定里定理得出四邊形DFEA與四邊形FBCE都是平行四邊形，故可得出CE=BF，∠FDB=∠EAC，再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC，故AC=BD，=2，設CD=2k，AB=k，DB=，故可得出，再由△DFB∽△AOB，可知OA=2，且，故可得出OB的長，進而得出結論．
解答：解：（1）∵D（1，6）在y=上，
∴m=6，即雙曲線解析式是 y=，
當C點橫坐標為2時，縱坐標為3，
∴C（2，3）．
直線AB過點C（2，3），D（1，6），得，k=-3，b=9，
故直線AB的解析式為y=-3x+9；的值為；

（2）①設C（a，b），則ab=6，
∵S_△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S_△EFD=×1×6=3，
∴S_△EFC=S_△EFD；
②∵S_△EFC=S_△EFD，且兩三角形同底，
∴兩三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四邊形DFEA與四邊形FBCE都是平行四邊形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB與△AEC中，
∵
∴△DFB≌△AEC（ASA），
∴AC=BD，
∵=2，設CD=2k，AB=k，DB=，
∴，
∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=∠ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴OA=2，且，
∴OB=4，
∴tan∠OAB=．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用，涉及待定系數法求函數解析式，同底等高的三角形的面積、相似三角形的性質等內容，綜合性較強．