Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，DE⊥BC，交BC的延長線于點E，BD交AC于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，可證出OD∥BE，從而得出∠ODE=90°，即得出答案；
（2）設OD交AC于點M，可得出四邊形DMCE為矩形，設⊙O的半徑為x，根據勾股定理得出x，即為圓的半徑．
解答：解：（1）連接OD，
∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，則∠EBD=∠ODB，（1分）
則OD∥BE，（2分）
∠ODE=∠DEB=90°，（3分）
DE是⊙O的切線；（4分）

（2）設OD交AC于點M，
易得矩形DMCE，DM=EC=1，
AM=MC=DE=2，（5分）
設⊙O的半徑為x，得x²=2²+（x-1）²，（6分）
解得：，（7分）
⊙O的半徑為（8分）．
點評：本題考查了切線的性質和判定，勾股定理以及圓周角定理，是一道綜合題，難度不大．