Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．其中正確的結論的個數有（　　）個.

A.5 B.4 C.3 D.2

Answer 1

【答案】B.

【解析】

試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME，故①正確；

∴PE=EM=PM，

同理，FP=FN=NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE

∴四邊形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，

∴PM+PN=AC，故②正確；

∵四邊形PEOF是矩形，

∴PE=OF，

在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，

∴PE2+PF2=PO2，故③正確．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤；

∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確．

故選B．

考點: 1.相似三角形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質；3.勾股定理；4.正方形的性質.