Question

（2011•南充）拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A（m﹣4，0）和B（m，0），與直線y=﹣x+p相交于點A和點C（2m﹣4，m﹣6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且以點P和A，C以及另一點Q為頂點的平行四邊形ACQP面積為12，求點P，Q的坐標；
（3）在（2）條件下，若點M是x軸下方拋物線上的動點，當△PQM的面積最大時，請求出△PQM的最大面積及點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直線y=﹣x+p上
∴
，解得：，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），
設拋物線y=ax²+bx+c=a（x﹣3）（x+1），
∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），
∴a=1
∴拋物線解析式為：y=x²﹣2x﹣3，
答：拋物線解析式為y=x²﹣2x﹣3．
（2）解：AC=3，
AC所在直線的解析式為：y=﹣x﹣1，
∠BAC=45°，
∵平行四邊形ACQP的面積為12，
∴平行四邊形ACQP中AC邊上的高為=2，
過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K，DK=2，
∴DN=4，
∵ACPQ，PQ所在直線在直線ACD的兩側，可能各有一條，
∴PQ的解析式或為y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，
∴，
解得：或，
，方程無解，
即P₁（3，0），P₂（﹣2，5），
∵ACPQ是平行四邊形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），
∴當P（3，0）時，Q（6，﹣3），
當P（﹣2，5）時，Q（1，2），
∴滿足條件的P，Q點是P₁（3，0），Q₁（6，﹣3）或P₂（﹣2，5），Q₂（1，2）
答：點P，Q的坐標是P₁（3，0），Q₁（6，﹣3）或P₂（﹣2，5），Q₂（1，2）．

（3）解：設M（t，t²﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），
過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線雨點T，則T（t，﹣t+3），
MT=（﹣t+3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+t+6，
過點M作MS⊥PQ所在直線于點S，
MS=MT=（﹣t²+t+6）=﹣（t﹣）²+，
∴當t=時，M（，﹣），△PQM中PQ邊上高的最大值為，
答：△PQM的最大面積是，，點M的坐標是（，﹣）．

解析