Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，AC是⊙O₁的切線且交⊙O₂于點C，AD是⊙O₂的切線且交⊙O₁于點D．連接DB、CB、AB．
（1）求證：AB²=BC•BD；
（2）延長CB交⊙O₁于點E，延長DB交⊙O₂于點F．求證：△AEC≌△ADF．

Answer 1

分析：（1）將乘積式化為比例式，然后證線段所在的三角形全等，即證△ABC∽△DBA；
（2）所求的兩個三角形中，根據圓周角定理即可得到兩組相等的對應角，關鍵是找出一組相等的對應邊；連接DE，證∠AED=∠ADE即可；易知∠ADE=∠ABE=∠BAC+∠C，而∠AED=∠ABF（圓內接四邊形的外角等于內對角）=∠BDA+∠BAD；觀察上述兩式，∠BAC、∠ADB和∠C、∠ABF都是（1）得到的相似三角形的對應角，由此可證得∠AED=∠ADE，即可得到AE=AD，由此得證．

解答：證明：（1）∵AC為⊙O₁的切線，
∴∠BAC=∠D，同理∠DAB=∠C；（2分）
∴△ABC∽△DBA，∴

AB

BD

=

BC

AB

（3分）
即AB²=BC•BD；（4分）

（2）連接ED；
則∠ADE=∠ABE=∠BAC+∠C，∠AED=∠ABF=∠BAD+∠ADB；
由（1）知△ABC∽△DBA，
∴∠BAC+∠C=∠BAD+∠ADB；
∴∠ADE=∠AED，∴AE=AD（7分）
而∠AEB=∠ADB，∠C=∠F，
∴△AEC≌△ADF．（8分）

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、弦切角定理、圓內接四邊形的性質以及全等三角形的判定等知識的綜合應用．